KALKULUS

Kalkulus

11/03/2021

Dalam bidang Artificial Intelligence, ilmu kalkulus sangat berguna sekali. Dalam bidang teknik informatika kalkulus bagian limit di gunakan untuk membuat Artificial Intelligence (Kecerdasan Buatan).  Kecerdasan diciptakan dan dimasukkan ke dalam suatu mesin/komputer agar dapat melakukan pekerjaan seperti yang dapat dilakukan manusia. Beberapa macam bidang yang menggunakan kecerdasan buatan antara lain sistem pakar, permainan komputer (games), logika fuzzy, jaringan syaraf tiruan dan robotika.Banyak hal yang kelihatannya sulit untuk kecerdasan manusia, tetapi untuk Informatika tidak terlalu sulit. Seperti contoh: mentransformasikan persamaan, menyelesaikan persamaan integral, membuat permainan catur atau Backgammon. Misalnya yahoo Jika kita menjawab  kita langsung dapat dua point, trus jika jika kita dapat best answers otomatis dapat 10 point, terus ada perhitungan sampai jawabannya 7 bulan yang lalu, dua menit yang lalu, karena gak mungkinkan manusia yang menghitungnya didalam source code dan database suatu website terdapat salah satunya yang bernama  limit.

Sistem Bilangan Real

“ Sistem bilangan real” adalah himpunan bilangan real R yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu

Komponen Bilangan Real

Bilangan yang kita pergunakan sehari-hari  adalah bilangan yang berbasis “sepuluh” yang dikenal dengan bilangan “decimal”  (dikelompokkan sepuluh-sepuluh).  Pada bilangan berbasis sepuluh angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9 yang disebut digit atau angka.

Bilangan Real dapat dikelompokan sebagai berikut:

·         Bilangan Asli : 1, 2, 3, …, berfungsi sebagai bilanan kardinal

untuk menghitung banaknya objek suatu himpunan. Himpunan bilangan asli dinotasikan dengan huruf N dengan  N ={ 1, 2, 3, …}. Bilangan “asli” atau “bilangan bulat positif” terdiri atas :

v  Bilangan 1 adalah bilangan asli yang mempunyai tepat satu factor.

v  Bilangan prima : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …, adalah bilangan asli yang mempunyai tepat dua faktor.

v  Bilangan komposisi : 4, 6, 8, 10, 12, 15 …, adalah bilangan asli yang mempunyai lebih dari dua faktor. 

·         Bilangan Cacah : 0, 1, 2, 3, … adalah bilangan asli beserta unsur nol, biasanya digunakan dalam kegiatan sensus . Bilangan cacah biasanya juga disebut “ blangan bulat non negatif”.

·         Bilangan Bulat Negatif ( lawan bilangan asli ) : -1, -2, -3, …

·         Bilangan Bulat : ….-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … adalh bilangan bulat terdiri atasbilangan genap dan bilangan ganjil.

v  Bilangan genap : …-4, -2, 0, 2, 4, 6 … adalah bilangan bulat kelipatan dua yang dinotasikan 2n , n bilangan bulat.

v  Bilangan ganjil : …-3, -1, 1, 3, 5, 7, 9 …adaah bilangan bulat bukan kelipatan dua, yang dinotasikan 2n+1 atau 2n-1 dengan n bilangan bulat.

·         Bilangan Pecahan adalah bilangan berbentuk , dimana m bilangan bulat dan n bilangan asli dengan m tidak dapat dibagi n. Bilangan bulat antara 0 dan 1 disebut bilangan pecahan sejati.

Bilangan Rasional adalah bilangan bulat beserta bilangan pecahan.
Bilangan rasional bersifat selalu mempunyai bentuk decimal berakhir atau berulang

·        Bilangan Irrasional   adalah bilangan yang bukan rasional.  Bilangan irrasional ini bukan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli, dan juga tidak mempunyai bentuk decimal berulang, sebagai contoh bilangan irrasional.

Beberapa operasi bilangan rasional tersebut dituliskan seperti di bawah ini.

a/b + c/d = (ad + bc)/bd

a/b – c/d = (ad – bc)/bd

a/b x c/d = ac/bd

a/b : c/d = ad/bc

-(a/b) = -a/b = a/(-b)

(a/b)^-1 = b/a dengan a ≠ 0.

Nilai mutlak 

Nilai Mutlak yaitu nilai suatu bilangan riil tanpa tanda plus atau minus. Baik |a| ataupun |-a| sama-sama bernilai a. Sebagai contoh, nilai absolut dari 1 adalah 1, dan nilai absolut dari –1 juga 1. 

 Sifat- Sifat Nilai Mutlak

                           Berikut saya akan menampilkan tabel dari sifat-sifat nilai Mutlak

               *Untuk Lebih Memahami langsung saja Liat Contoh Soal di bawah ini

Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.

1. |x+7| < 9

2. |2x-1| >= 7

3. |x+3| <= |2x-3|

Jawaban

1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.

    -9 < x+7 < 9

    -9 - 7 < x < 9 - 7       -16 < x < 2
   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2}

2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian.

   (*) 2x - 1 >=  7

             2x  >=  7 + 1

             2x  >= 8

               x  >= 4

  (**) 2x - 1 <= -7

             2x   <= -7 + 1

             2x   <= -6

               x   <= -3

    Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ x <= -3 atau x >= 4}

 3. Untuk bentuk bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas.

perhatikan proses berikut ini.

(x + 3)² <= (2x – 3)²

(x + 3)² - (2x – 3)² <= 0

(x + 3 + 2x – 3) - (x + 3 – 2x + 3) <= 0 (ingat: a² – b² = (a+b)(a-b))

x (6 - x) <=0

Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6

Mari selidiki menggunakan garis bilangan

      Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.

Mari kita selidiki anjay menggunakan garis bilangan

                                 

      *Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}

FUNGSI 

Fungsi aljabar adalah fungsi yang aturannya meliputi operasi aljabar (tambah, kurang, kali, bagi, akar, dan pangkat).

• Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan bulat . fungsi rasional meliputi :

• Fungsi Polinom

Fungsi polinom merupakan fungsi suku banyak bentuknya

f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 +…..+ a₂x² + a₁x + a₀

 dengan  a_n ≠ 0

a₀ = suku tetap

a_n , a_n-1 , …..a, a₀ = bilangan real

contoh fungi polinom : 2x³+ 4x² +6x-5

5x² + 4x -8       dst

 

• Fungsi Kubik

Fungsi kubik adalah fungsi yang berpangkat tiga.

Bentuknya f(x) = ax³ + bx² +cx + d

dengan a≠ 0

Contohnya fungsi kubik : x³ + 2x² + 5x +6

 

• Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi yang variabelnya berpangkat 1 dan grafiknya merupakan garis lurus.

Bentuknya y = f(X) = ax + b dimana : a dan b = konstanta dan a≠ 0

Contoh dari fungsi linear: y = x+3

Langkah- langkah melukis fungsi grafik linear:

1. Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1 ,0)
2. Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B (0, y1)
3. Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus.
   
   
4. Fungsi Pecahan

Bentuk umum fungsi pecahan adalah

Fungsi pecahan yang dijelaskan di sini adalah fungsi pecahan linear dan fungsi pecahan kuadrat.

1. Fungsi pecahan linear

 

1. Funsi pecahan kuadrat

dan

 

• Fungsi Irrasional

Fungsi irrasional adalah fungsi yang variabel bebasnya terdapat di bawah tanda akar. Contohnya    y =

 

2. Fungsi Transenden

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar.

• Fungsi Goneometri

Contoh: y = f(x) = 2 sin 3x + 12

• Fungsi Eksponen

Contoh: f(x) = 12^x

• Fungsi Logaritma

Contoh: f(x) = 5log3x

• Fungsi Siklometa

Contoh: f(x) = arc sin x

 

3. Fungsi Mutlak

Fungsi Mutlak adalah suatu fungsi yang aturannya memuat nilai mutlak suatu bilangan real x,dinyatakan dengan |x|,didefinisikan sebagai

|x| =

 

4. Fungsi dengan Parameter

Fungsi bentuk parameter merupakan fungsi y = f(x) yang disajikan dengan sepasang persamaan : dengan t suatu parameter, maka untuk memperoleh dari sistem persamaan tersebut adalah dengan diasumsikan y sebegai fungsi komposisi

 

1. Menurut Letak Variabelnya
2. Fungsi Implisit

Fungsi Implisit merupakan lawan dari fungsi eksplisit jadi pada fungsi implisit perbedaan antar variabel bebas dan variabel tidak bebas tidak dapat dibedakan dengan jelas. Contohnya: f(x,y)= 3x + 4y

2. Fungsi Eksplisit

Fungsi Eksplisit y terhadap x adalah fungsi dengan aturan y=f(x) yang memasangkan setiap unsur di daerah asalnya dengan tepat satu unsur di daerah nilainya. Contohnya: y = 2x-5

 

 

1. Fungsi-Fungsi Khusus
2. Fungsi Identitas

f : A      A dengan f(x) = x disebut fungsi satuan jika f memetakan setiap titik anggota A ke dirinya sendiri.

2. Fungsi Konstan

Misalkan f: A     B. Fungsi f disebut fungsi konstan jika setiap anggota A dipetakan ke satu anggota B yang sama. Jadi jika x elemen A, maka f(x) = c (konstan)

3. Fungsi Komposisi

Jika fungsi f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), maka dikatakan bahwa kita telah mengkomposisikan g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut kompoosisi g dengan f, yang dinyatakan dengan g°f. Jadi (g°f)(x) = g(f(x))

Sifat fungsi komposisi tidak komulatif f°g ≠g°

Grafik Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi dengan pangkat variabel tertinggi 1, dengan bentuk umum 

f(x) = ax + b

sehingga grafiknya akan berbentuk garis lurus dengan persamaan

y = ax + b

dengan gradien a dan konstanta b (ordinat ketika garis memotong sumbu y.

Contoh 

Diketahui suatu fungsi linear f(x) = 2x - 3

Langkah pertama untuk menggambar grafik fungsi pada koordinat kartesius adalah dengan membuat tabel (x, f(x)) sebagai berikut
f(-1) = 2(-1) - 3 = -5                          f(1) = 2(1) - 3 = -1
f(0)  =  2(0) - 3  = -3                         f(2) = 2(2) - 3 = 1

Lalu, masukkan titik (-1,-5), (0,-3), (1,-1), dan (2,1) pada koordinat kartesius sebagai berikut

Kemudian, hubungkan titik-titik tersebut dalam satu garis lurus sebagai berikut

Inilah grafik fungsi linear f(x) = 2x - 3.

B. GRAFIK FUNGSI KUADRAT

Fungsi kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel yang mempunyai pangkat tertinggi dua. Fungsi ini berkaitan dengan PERSAMAAN KUADRAT. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

Sedangkan bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:

Dengan a, b, merupakan koefisien, dan c adalah konstanta, serta .

Fungsi kuadrat f(x) dapat juga ditulis dalam bentuk y atau:

Dengan x adalah variable bebas dan y adalah variable terikat. Sehingga nilai y tergantung pada nilai x, dan nilai-nilai x tergantung pada area yang ditetapkan. Nilai y diperoleh dengan memasukan nilai-nilai x kedalam fungsi.

Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat  dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola.

Grafik dapat dibuat dengan memasukan nilai x pada interval tertentu sehingga didapat nilai y. Kemudian pasangan nilai (x, y) tersebut menjadi koordinat dari yang dilewati suatu grafik. Sebagai contoh, grafik dari fungsi:  adalah:

Jenis grafik fungsi kuadrat lain

1. Grafik fungsi 

Jika pada fungsi  memiliki nilai b dan c sama dengan nol, maka fungsi kuadratnya:

Pada grafik fungsi ini akan selalu memiliki garis simetris pada x = 0 dan titik puncak y = 0. Sebagai contoh , maka grafiknya adalah:

2. Grafik fungsi 

Jika pada fungsi  memiliki nilai b = 0, maka fungsi kuadratnya sama dengan:

Pada fungsi ini grafik akan memiliki kesamaan dengan grafik fungsi kuadrat yaitu selalu memiliki garis simetris pada x = 0. Namun, titik puncaknya sama dengan nilai c atau . Sebagai contoh  =   + 2, maka grafiknya adalah:

3. Grafik fungsi 

Grafik ini merupakan hasil perubahan bentuk dari  . Pada fungsi kuadrat ini grafik akan memiliki titik puncak (x, y) sama dengan (h, k). Hubungan antara a, b, dan c dengan h, k sebagai berikut:

Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

a. Grafik terbuka

Grafik  dapat terbuka ke atas atau ke bawah. Sifat ini ditentukan oleh nilai a. Jika  maka grafik terbuka ke atas, jika  maka grafik terbuka kebawah.

b. Titik Puncak

Grafik kuadrat mempunyai titik puncak atau titik balik. Jika grafik  terbuka kebawah, maka titik puncak adalah titik maksimum. Jika grafik terbuka keatas maka, titik puncak adalah titik minimum.

c. Sumbu Simetri

Sumbu simetri membagi grafik kuadrat menjadi 2 bagian sehingga tepat berada di titik puncak. Karena itu, letaknya pada grafik  berada pada:

d. Titik potong sumbu y

Grafik  memotong sumbu y di x = 0. Jika nilai x = 0 disubstitusikan ke dalam fungsi, diperoleh y = c. Maka titik potong berada di (0, c).

e. Titik potong sumbu x

Grafik kuadrat akan memotong sumbu x di y = 0, sehingga membentuk persamaan:

Akar-akar dari persamaan tersebut adalah absis dari titik potong. Oleh karena itu, nilai diskriminan (D) berpengaruh pada keberadaan titik potong sumbu x sebagai berikut:

• Jika , grafik memotong sumbu x di dua titik

• Jika , grafik menyinggung sumbu x

• Jika , grafik tidak memotong sumbu x

Jika digambarkan, sebagai berikut:

Limit searah

Limit saat: x → x₀⁺ ≠ x → x₀^-. Maka, limit x → x₀ tidak ada.

Masukan x dapat mendekati p dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai

atau

Bila kedua limit ini sama nilainya dengan L, maka L dapat diacu sebagai limit f(x) pada p . Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan L, maka limit f(x) pada p tidak ada.

Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit f(x) saat x mendekati p dari atas adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat sebuah bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga |f(x) - L| < ε pada saat 0 < x - p < δ. Limit f(x) saat x mendekati p dari bawah adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga |f(x) - L| < ε bilamana 0 < p - x < δ.

Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol.

Limit fungsi pada ketakhinggaan

Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.

Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞}, ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis.

Bila f(x) adalah fungsi riil, maka limit f saat x mendekati tak hingga adalah L, dilambangkan sebagai:

jika dan hanya jika untuk semua ε > 0 terdapat S > 0 sedemikian rupa sehingga |f (x) - L| < ε bilamana x > S.

Dengan cara yang sama, limit f saat x mendekati tak hingga adalah tak hingga, dilambangkan oleh

jika dan hanya jika bila untuk semua R > 0 terdapat S > sedemikian sehingga f(x) > R bilamana x > S.

Rumus biasa

Rumus

FUNGSI dan LIMIT

 

1.1 Fungsi dan Grafiknya

Fungsi :

suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil)

 

 

 

Aturan suatu fungsi dinyatakan dalam persamaan :

 y = f(x)

x adalah variabel bebas , y adalah variabel tak bebas

contoh :

            y = x² - 4

            y = 2x + 1

 

Jika daerah asal dan  daerah hasil suatu fungsi adalah himpunan bilangan riil, maka fungsi tersebut dapat digambarkan dalam bentuk grafik pada suatu bidang koordinat.

           

 

                 

 

y = f(x) = x² – 4                                                y = 2x + 3

 

 

 Apabila grafik suatu fungsi adalah simetris terhadap sumbu Y maka fungsi yang demikian disebut fungsi genap, yaitu jika  f(-x) = f (x).

 

Apabila grafik suatu fungsi adalah simetris terhadap titik asal O (0,0) maka fungsi yang demikian disebut fungsi ganjil, yaitu jika  f(-x) = - f(x).

 

1.2 Operasi Pada Fungsi

JUMLAH, SELISIH,HASIL KALI, HASIL BAGI, PANGKAT.

Pandanglah fungsi- fungsi f dan g dengan rumus- rumus

                        f(x) =           g(x) =

                        (f + g)(x) = f(x) + g(x) =     +         

            Fungsi- fungsi f – g, f . g, dan f/g diperkenalkan dengan cara analog. Dengan anggapan bahwa f dan g mempunyai daerah asal alamiah, kita mempunyai yang berikut :

 

                       

 

Operasi pada Fungsi	Rumus dan Contoh	Daerah asal
Jumlah   Selisih     Hasil Kali   Hasil Bagi	(f + g) (x) = f(x) + g(x) =     +        (f -  g) (x) = f(x) -  g(x) =     -         (f . g) (x)  = f(x) .  g(x) =     .        (  ) (x) =   =	[ 0, ∞ )   [ 0, ∞ )     [ 0, ∞ )   ( 0, ∞ )

 

Kita harus mengecualikan 0 dari daerah asal f/g untuk menghindari pembagian oleh 0.

            Kita juga boleh memangkatkan suatu fungsi. Dengan fⁿ, kita maksudkan fungsi yang menetapkan nilai [f(x)]ⁿ pada x. Jadi,

            f²(x) = [f(x)]² = ² =   

dan

            g³(x) = [g(x)]³ = (  )³  = x^3/2

Satu-satunya pengecualian pada aturan ini untuk n dalam fⁿ adalah n = -1

 

CONTOH 1. Andaikan F(x) =  dan G(x) = , dengan masing- masing daerah asal alamiah    [ - 1, ∞ ) dan [ - 3, 3 ]. Cari rumus untuk F + G, F – G, F . G, F/G dan F⁵ dan berikan daerah asal alamiahnya.

Penyelesaian

 

Rumus	Daerah asal
(F + G) (x) = F(x) + G(x) =     +   (F - G) (x)  = F(x) - G(x) =     -   (F . G) (x) = F(x) . G(x) =     .   (  ) (x) =   =     F5(x) = [ F(x) ]5 = ( )5 = ( x + 1)5/4	[ -1, 3)   [ -1, 3 )   [ -1, 3 )     [ -1, 3 )   [ -1, ∞ )

 

KOMPOSISI FUNGSI.

Sebelumnya, anda diminta untuk membayangkan sebuah fungsi sebagai sebuah senapan. Sekarang  diminta memikirkan fungsi f sebagai sebuah mesin.

            Fungsi ini menerima x sebagai masukan, bekerja pada x, dan menghasilkan f(x) sebagai keluaran. Dua mesin seringkali dapat diletakkan berdampingan untuk membuat sebuah mesin yang lebih rumit demikian juga halnya dengan dua fungsi f dan g. Jika f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk mehasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f. Fungsi yang dihasilkan, disebut komposit g dengan f, dinyatakan oleh g o f. Jadi,

                                    ( g o f )(x) = g(f(x))

            Ingat kembali contoh kita terdahulu, f(x) = (x- 3)/2 dan g(x) =  . Kita dapat menyusunnya dalam dua cara,

                                    ( g o f )(x) = g(f(x)) = g =

                                    ( f o g )(x) = f(g(x)) = f( ) =

            Segera kita perhatikan satu hal: Susunan (komposisi) fungsi tidak komutatif; gof dan fog umumnya berlainan.

 

CONTOH 2. Andaikan f(x) = 6x/(x² – 9) dan g(x) = . Pertama, cari ( fog )(12),kemudian cari (fog)(x) dan berikan daerah asalnya.

Penyelesaian

                        ( f o g )(12) =  f(g(12)) =  f () =  f(6) =   = 

                        ( f o g )(x) = f(g(x)) = f (

                                        =   =  =

 

Daerah asal fog adalah [0, 3)  ( 3, ∞ )

 

TRANSLASI.

Dengan mengamati bagaimana sebuah fungsi dibentuk dari yang paling sederhana dapat membantu Anda dalam menggambar grafik. Mungkin anda akan bertanya:

Bagaimana grafik- grafik dari

            y = f(X)                                   y = f(x – 3)                  y = f(x) + 2                              y = f(x – 3) + 2

apakah berkaitan satu sama lain? Ambillah f(x) = sebagai contoh. Keempat grafik yang bersesuaian ini dapat anda lihat pada gambar

 

 

1.3 Fungsi Trigonometri

Definisi

Perhatikan gambar berikut :

 

 

 

Definisi fungsi trigonometri didasarkan pada lingkaran satuan , yaitu lingkaran yang berjari-jari 1 dan berpusat di titik asal. Andaikan A adalah titik (1,0) dan andaikan t adalah sembarang bilangan positif. Maka terdapat satu titik P (x,y) sedemikian rupa sehingga panjang busur AP , yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum jam dari A sepanjang lingkaran satuan sama dengan t (gambar 1). Jika arah putaran searah jarum jam, maka t < 0.

 

Definisi Fungsi Sinus dan Kosinus

Andaikan t menentukan titik P (x,y) seperti ditunjukkan di atas, maka

             

 

Sifat-sifat Dasar Fungsi Sinus dan Kosinus

1. Daerah hasil untuk fungsi sinus dan kosinus adalah selang

2.

3. sinus adalah fungsi ganjil, sedangkan kosinus adalah fungsi genap,

 

 

          y =                            y =                                   y =  + 2   y= 

 

            Apa yang terjadi dengan f(x) = adalah khas. Perhatikan bahwa keempat grafik tersebut mempunyai bentuk yang sama, tiga yang terakhir hanyalah penggeseran (translasi) dari yang pertama. Dengan mengganti x oleh x – 3 akan menggeser grafik itu 3 satuan luas ke kanan, dengan menambahkan 2 berarti menggesernya ke atas sebesar 2 satuan.

Kekontinuan Fungsi

Definisi.  kekontinuan di satu titik

Fungsi f dikatakan kontinu di c jika beberapa selang terbuka di sekitar c terdapat dalam domain f dan .

 

Contoh

Misalkan , bagaimana f didefinisikan di x=2 agar kontinu di titik tersebut.

Penyelesaian

Kita definisikan, sehingga

                                                          

 

Definisi.  Kekontinuan Pada Selang

Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a,b) jika f kontinu pada setiap titik (a,b), f kontinu pada selang tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b.

 

Contoh

Fungsi yang disketsakan di atas dikatakan kontinu pada selang terbuka (-∞,0), (0,3), dan (5,∞) dan pada selang tertutup [3,5]. 

 

Turunan Fungsi

Misalkan terdapat suatu fungsi f(x) = axⁿ. Turunan dari fungsi tersebut yaitu f’(x) = anx^{n – 1}.

Contohnya yaitu:

f(x) = 3x³

turunan dari fungsi tersebut yaitu

f’(x) = 3 (3) x^{3 – 1} = 9 x².

Contoh lainnya misalnya g(x) = -5y^-3.

Turunan dari fungsi tersebut adalah g’(y) = -5 (-3) y^{-3 – 1}  = 15y^-4.

Berikut akan dijelaskan turunan fungsi aljabar.

Turunan Fungsi Aljabar

Pembahasan turunan fungsi aljabar pada bagian ini meliputi turunan dalam bentuk perkalian dan turunan dalam pembagian fungsi aljabar.

Turunan fungsi aljabar dalam bentuk perkalian yaitu sebagai berikut.

Misalkan terdapat perkalian fungsi: h(x) = u(x) . v(x).

Turunan dari fungsi tersebut yaitu h’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x).

Keterangan:

• h(x) : fungsi dalam bentuk perkalian fungsi.
• h’(x) : turunan fungsi bentuk perkalian
• u(x), v(x) : fungsi dengan variabel x
• u’(x), v’(x) : turunan fungsi dengan variabel x

Turunan fungsi aljabar dalam bentuk pembagian yaitu:

Misalkan terdapat perkalian fungsi: h(x) = u(x)/v(x). Turunan dari fungsi tersebut adalah

h’(x) = (u’(x) . v(x) – u(x) . v’(x))/v²(x).

Keterangan:

• h(x) : fungsi dalam bentuk perkalian fungsi.
• h’(x) : turunan fungsi bentuk perkalian
• u(x), v(x) : fungsi dengan variabel x
• u’(x), v’(x) : turunan fungsi dengan variabel x

Baca juga Aljabar.

Berikut ini akan dijelaskan mengenai turunan akar.

Turunan Akar

Misalkan terdapat suatu fungsi akar sebagai berikut

Untuk menentukan turunan dari fungsi tersebut, terlebih dahulu kita ubah ke dalam bentuk fungsi perpangkatan. Bentuk fungsi perpangkatannya yaitu f(x) = x^a/b.

Turunan dari fungsi tersebut yaitu f’(x) = a/b . x^{(a/b) – 1}.

Bagaimana jika fungsi berbentuk seperti ini?

Untuk menentukan turunan fungsi di atas, terlebih dahulu diubah ke bentuk perpangkatan.

f(x) = g(x)^z/b

Turunan dari fungsi tersebut yaitu f’(x) = a/b . g(x)^{(a/b) – 1} . g’(x).

Berikut ini akan dijelaskan mengenai turunan parsial.

Turunan Parsial

Apa itu turunan parsial? Turunan parsial merupakan suatu turunan dari fungsi peubah banyak terhadap suatu peubah, sedangkan peubah yang lain dipertahankan.

Misalkan terdapat suatu fungsi: f(x, y) = 2xy, turunan parsial dari fungsi tersebut terhadap variabel x yaitu f_x’(x, y) = 2y.

Contoh lainnya yaitu, terdapat fungsi g(x, y) = -3xy²

Turunan parsial terhadap variable y yaitu f_y’(x, y) = -6xy.

Berikutnya akan dijelaskan mengenai turunan implisit.

Turunan Implisit

Turunan implisit ditentukan berdasarkan variabel yang terdapat dalam fungsi.

Suatu fungsi dengan variabel x, turunannya : x d/dx.

Suatu fungsi dengan variabel y, turunannya : y d/dy. dy/dx.

Suatu fungsi dengan variabel x dan y, turunannya : xy d/dx + xy d/dy . dy/dx.

Baca juga Kalkulus.

Agar lebih memaham mengenai turunan, coba kerjakan soal berikut kemudian periksalah jawaban kalian dengan menggunakan pembahasan pada bagian di bawah ini.

Contoh Soal Turunan

1. Tentukan turunan dari fungsi berikut.

• f(x) = 8
• g(x) = 3x + 5
• h(x) = 6x³
• k(x) = 3x^5/3
• m(x) = (3x² + 3)⁴

Pembahasan

• f’(x) = 0
• g’(x) = 3
• h’(x) = 6 (3) x^{3 – 1} = 18x²
• k’(x) = 3 (5/3) x^{(5/3) – 1} = 5x^2/3
• m’(x) = 4 . (3x² + 3)^{4 – 1} . 6x = 24x . (3x² + 3)³

2. Tentukan turunan dari fungsi berikut.

f(x) = (3x + 2) . (2x² – 1)

Pembahasan

Misal: u(x) = 3x + 2 dan v(x) = 2x² – 1

f’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x)

f’(x) = 3 . (2x² – 1) + (3x + 2) . (4x)

f’(x) = 6x² – 3 + 12x² + 8x = 18x² + 8x – 3

 

 

• Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel).
• Beberapa macam turunan yaitu turunan fungsi aljabar, turunan akar, turunan parsial, turunan implisit, dan yang lainnya.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

https://www.youtube.com/watch?v=EpT3RNJeC9k&list=PL2HHkwvuggXsjGPTd7h5Nm-aflf67Nl1N&index=1