MATRIKS
matriks
oleh: Jofris hutabarat
kelas: B
Matrik adalah susunan bilangan real (kompleks) berbentuk empat persegi panjang yang di batasi oleh tanda kurung.
istilah istilah:
- Lambang matrik digunakan hurus besar A,B,C
- Elemen matrik digunakan lambang huruf kecil , a,b,c
- bagian mendatar disebut baris
- bagian tegak disebut kolom
- Indeks -I menyatakan baris , indeks j menyatakan kolom
- jumlah baris =m , jumlah kolom =n
- ukuran matrik disebut ordo
- matrik dengan jumlah baris=m jumlah kolom =n disebut dengan ukuran (m x n) atau matrik berordo (m x n)
Jenis jenis matrik
1.matrik bujur sangkardikatakan matrik bujur sangkar jika jumlah baris dan jumlah kolom A sama
2.matriks segi tiga atas
dikatakan segitiga atas , jika A adalah matriks bujur sangkar dimana semua elemen dibawah adalah 0
3.matriks segitiga bawah
dikatakan matriks segitiga bawah , jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen diatas adalah 0
4.matrik diagonal =D
dikatakan matrik diagonal , jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0 dan elemen diagonal utama tak nol
5.matriks identitas
dikatakan matrik identitas , jika A adalah matrik bujur sangkar dimana semua elemen selain diagonal utama 0, dan elemen diagonal utama tak nol
6.Tranpose matriks
tranpose matriks adalah sebuah matriks yang diperoleh dari A dimana baris AT adalah kolom A, dan kolom AT adalah baris A. bila A berukuran (mxn), AT berukuran (nxm).
7.Matriks simetris
dikatakan matriks simetris bilamana A adalah matriks bujur sangkar dimana AT=A
8. Matriks baris
matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris
contoh ; A (1 3 4 9)
9. Matriks kolom
Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom
10. Matriks nol
matriks nol adalah suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo.
11. Matriks skalar
Matriks skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.
12. Matriks mendatar
Matriks mendatar adalah matriks yang banyaknya baris dan kurang dari banyak nya kolom.
13.Matriks tegak
Matriks tegat adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.
14.Matriks skew simetris (Anti simetris), yaitu suatu matriks persegi yang apabila ditransposkan akan sama dengan negatif dari matriks semula.
- Sifat penjumlahan matriks
misalkan yerdapat matriks A,B,C dan matriks nol osedemikian rupa sehingga berlaku ;
A+B=B+A
A+(B+C)=(A+B)+C
A+O=O+A=A
A+(-A)=-A+A=O
- Sifat perkalian matriks
misalkan terdapat matriks A,B,C matriks 0, matriks identitas I dan m,n sembarang bilangan bulat yang sedemikian rupa sehingga berlaku ;
DETERMINAN MATRIKS
Fungsi determinan matriks bujur sangkaar A dinyatakan dengan det(A)=A, didefinisikan sebagai jumlah hasil kali elementer elemen elemen bertanda A
kasus n=1
A=[a], det(A)=a
metude EKSPANSI LAPLACE
andaikan , A=[a] (nxn) adalah matriks bujur sangkar berordo (nxn)
1. minor elemen matriks Abaris ke-i dan kolom ke-j (a-ij) didefinisikan sebagai determinan matrik berordo (n-1) x (n-1) yang di peroleh dari A dengan cara menghilagkan baris ke-I dan kolom ke -j
2. kofaktor elemen matriks A baris ke-i kolom ke-j ditulis C-ij didefinisikan sebagai
M23 determinan matriks berordo (3x3) baris ke -2 dan kolom ke-3 dari matriks A dihilangkan
M23 determinan matriks berordo (3x3) baris ke -3 dan kolom ke -2 dari matriks A dihilangkan
DETERMINAN METODE EKSPANSI LAPLACE
Andaikan A=[aij] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo cij =(-1) Mij adalah kofaktor elemen matriks A baris ke-i kolom ke-j
Determinan Metode Chio
Andaikan , A[aij](nxn), dan a11=0 :
Rumus diatas dikenal pula dengan , rumus menghitung determinan dengan mereduksi orde / ukuran matrik. Reduksi ordenya dapat pula menggunakan elemen matrik yang lain, tidak harus a11.
Contoh :
Dekomposisi : Metode Crout
Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Crout adalah :
kasus n=3
Dalam membahas metode reduksi Crout, tinjau matriks 3 x 3 berikut :
Karena LU = A, maka hasil perkalian L dan U itu dapat di tulis sebagai
Contoh :
hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi
, 
kasus n=4 metode crout
Rumus iterasi perhitungannya adalah ;
Contoh
Hitunglah determinan matrik berikut dengan metode dekomposisi :
Jawab :
Dekomposisi metode DOOLITTLE
Invers Matriks
matriks bujur sangkar A dikatakan mempunyai invers jika terdapat matriks B sedemikian rupa sehingga AB = BA = I dimana I matriks identitas
Invers matriks
-Metode adjoint
-metode operasi elementer
-metode perkalian invers matriks elementer
-metode partisi matriks
andaikan A matriks bujur sangkar berordo (nxn), Cij=(-1)i+j Mij kofaktor elemen matriks aij, dan andaikan pula det(A) tidak sama dengan 0 maka A mempunyai invers yaitu :
kasus n=3
Kasus n=4
Invers : operasi elementer baris
opersai elementer baris yang di gunakan adalah :
perkalian matriks elementer
1.matriks elementer adalah matriks yang di peroleh dari operasi elementer yang dikenakan pada matriks identitas
2.setiap matriks elementer mempunyai invers , dan setiap matriks bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers ekivalen baris terhadap matriks identitas I
Partisi matriks
partisi matriks A yang berordo (mxn) adalah sub matriks-sub matriks yang di peroleh dari A dengan cara memberikan batasan batasan garis horizontal diantara dua baris dan atau memberikan batasan-batasan garis vertikal diantara dua kolom
Sistem persamaan linier
persamaan linier adalah suatu persamaan dengan variabel yang tidak diketahui x1,x2,x3....,xn yang dinyatakan dalam bentuk a1x1 + a2x2 +...+an dan b adalah kosntanta real (kompleks) .persamaan linier secara geometri dengan istilah garis
bentuk matriks SPL
metode creamer
Andaikan , AX = B adalah sistem persamaan linier dengan npersamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui ,
Andaikan determinan matrik A tidak sama dengan nol maka sistem persamaan linier non homogen solusinya tunggal yaitu
Contoh :
metode eliminasi gaus
operasi elementer baris
1. HI <- k HI :
kalikan sembarang baris ke 1 dengan konstanta tak nol
2. HI <- Hj
tukarkanlah semua elemen baris ke i dengan baris ke j
3. HI <- HI + kHj
kalikanlah baris ke j dengan konstanta tak nol k, dan hasilnya jumlahan pada baris ke I
Contoh:
Tentukan matrik eselon matrik berikut ini :
SPL : METODE DEKOMPOSISI
Andaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,
Andaikan, A dapat didekomposisi menjadi matrik segitiga atas L dan segituga bawah U,akibatnya SPL AX=B dapat ditulis menjadi :
LUX = B
atau,
L Y= B
UX = Y
Langkah-langkah menentukan solusi SPL non homogen, dengan metode dekomposisi matrik adalah :
(1). Tentukan dekomposisi matrik A, menjadi A=LU, dengan metode Crout, Doolite, Cholesky).
(2). Tentukanlah nilai Y dari persamaan :
LY=B,
dengan eliminasi maju
(y1, y2, y3, …,yn)
(3). Tentukanlah nilai X yang merupakan solusi SPL non homogen, dari persamaan
UX=Y
dengan eliminasi mundur
(xn, xn-1, …,x2,x1).
CONTOH :
Carilah solusi SPL berikut dengan metode Dekomposisi :
Jawab :
Mengingat, dekomposisi A dengan metode Crout adalah :
Menghitung Y dari LY = B
Dari SPL diperoleh :
2y1 = 16 à y1=8
3y1 – y2 = 12 à y2=12
4y1 – 2y2 + 2y2 = 12 à y3 = 2
Menghitung X dari UX = Y
Dari SPL diperoleh :
x3 = 2 à x3=2
x2 + 2.5x3 = 12 àx2=7
x1 + 2x2 + 1.53 = 2 àx1=–9
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rn dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol l sedemikian rupa sehingga,
Ax = lx
Contoh :
Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari :
Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)
Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah Ax = lx sebagai,
Ax = lIx
(lI – A)x = 0
Agar supaya l menjadi nilai eigen, maka penyelesaian sistem persamaan linier diatas haruslah non trivial, dimana syaratnya adalah :
Teknik Menghitung Nilai Eigen (2)
Persamaan terakhir adalah polinomial l berderajad n yang disebut dengan persamaan karakteritik A, sedangkan nilai eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A (akar-akar polinomial dalam l).
Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matrik A adalah :
Contoh
Carilah
nilai
eigen dan vektor
eigen dari, A = 
Jawab
Bentuk, lI – A yaitu :
Persamaan karakteristiknya adalah:
det(lI – A) = l2 – 2l – 8 = 0
Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah : l1 = 4, dan l2 = –2, dan inilah nilai eigen matrik A.
Vektor eigen x dari A diperoleh dari :
(lI – A)x = 0
Untuk l = 4, diperoleh SPL
Solusi SPL diatas adalah :
Jadi vektor eigen untuk l = 4, adalah x = [5,1]. Sedangkan vektor eigen yang bersesuaian dengan l = –2 adalah, x = [1,–1].
Diagonalisasi
Suatu matriks bujursangkar A dikatakan diagonalizable
• Jika ada matriks P yang dapat diinvers sehingga P -1AP =D adalah matriks diagonal
• Matriks P dikatakan mendiagonalkan ( diagonalize) A.
Jika A n´n maka:
• A dapat didiagonalkan. • A mempunyai n vektor eigen yang bebas secara linier.
Suatu matriks Anxn dengan n vektor eigen yang bebas linier dapat didiagonalkan dengan langkah sbb:
• Step 1. Cari n vektor eigen yang bebas secara linier dari A, yaitu p1 , p2 , …, pn .
• Step 2. Bentuk matriks P yang mempunyai p1 , p2 , …, pn sebagai vektor-vektor kolomnya.
• Step 3. Matriks P -1AP akan menjadi matriks diagonal dengan l1 , l2 , …, ln sebagai anggota diagonalnya dimana li adalah nilai eigen yang berpadanan dengan pi , untuk i = 1, 2, …, n.
contoh soal :
Langkah-langkah Mencari D
- Tentukan P-1 , yaitu dengan mencari determinan dari P dan adjoin P.
- Setelah itu baru cari D = P-1 AP
Diketahui suatu matriks A, nxn, dan suatu matriks ortogonal P sedemikian sehingga :
P -1AP = PTAP=D
maka A disebut dapat didiagonalkan secara ortogonal dan P disebut mendiagonalkan A secara ortogonal.
Setiap matriks simetris dapat didiagonalkan secara ortogonal.
Jika A adalah matriks n´n maka pernyataan berikut ekuivalen:
• A dapat didiagonalkan secara ortogonal.
• A mempunyai suatu himpunan n vektor eigen yang ortonormal.
• A simetris. AT = (PDPT) T=PDTP T = PDPT = A Jika A adalah suatu matriks simetris, maka: – Nilai eigen dari A semuanya bilangan real. – Vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda ortogonal.
Prosedur mendiagonalkan secara ortogonal suatu matriks simetris:
• Step 1. Cari basis untuk setiap ruang eigen dari A.
• Step 2. Terapkan proses Gramm Schmidt pada setiap basis-basis ini untuk mendapatkan suatu basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.
• Step 3. Bentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang disusun pada step-2, matriks ini mendiagonalkan A secara ortogonal.
Contoh soal :
kunjungi video saya di yutube :
https://www.youtube.com/watch?v=uDEJtFLPxx8&list=PL2HHkwvuggXuhTZMM3IobA9q9Fpv3-n7D
Komentar
Posting Komentar